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双曲线的定义及其标准方程(吃透双曲线,拿下重难点)

作者:星河日月   2021-11-23 16:34

椭圆是到两点距离之和为定值的点形成的曲线,那么到两点距离之差为定值的点形成的曲线又是什么呢?这个曲线其实是双曲线的一支,那么双曲线的方程是什么形式呢?


双曲线的定义及其方程推导


双曲线的方程推导

与椭圆的焦点类似,我们也称形成双曲线的两个点为焦点,并且选取焦点为x轴上两个对称的点A(-c,0)和B(c,0),假设双曲线上任意一点为C(x,y),那么有下列等式


双曲线的定义及其方程推导


那么用x、y表示上式,可得


双曲线的定义及其方程推导


两边平方并化简


双曲线的定义及其方程推导


到这里,我们推出来双曲线的表达式与椭圆是一样的,但是不同之处在于,双曲线的a是小于c的(三角形两边之差小于第三边),那么可得


双曲线的定义及其方程推导


这样一来,我们一定能求出正实数b,使得


双曲线的定义及其方程推导


此时,双曲线的表达式可化简为


双曲线的定义及其方程推导


与椭圆类似,很容易得知双曲线也是一个关于原点中心对称、分别关于x轴和y轴对称的曲线。

[ 标签: 数学  ]

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